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Il seguente documento fornisce il supporto teorico, le formule e le spiegazioni necessarie a chiarire i dubbi sulle dimensioni ideali degli impianti eolici. Ne risulta un'evidente vantaggio negli impianti eolici di grandi dimensioni.


AVVERTENZA

Nel presente lavoro si vuole considerare l’argomento eolico dal punto di vista della produzione di energia eolica su grande scala, cioè in quantità significativa ai fini di un possibile contributo al bilancio energetico nazionale.


  1. La potenza cinetica del vento

    Una vena fluida in movimento laminare (cioè senza vortici) a velocità V possiede un'energia cinetica pari a:

      E = ½ m V2   (1)

    Dove m è la massa di fluido in movimento.

    Se consideriamo una sezione trasversale alla direzione del moto, di area A m2, e misuriamo la massa m' che attraversa A nell'unità di tempo, si avrà :

      m' = A ρ V   (2)

    Dove ρ = 1.225 kg/m3 è la densità del fluido, nel nostro caso dell'aria.

    Quindi l'energia presente nella vena fluida nell'unità di tempo, cioè la potenza cinetica, sarà ottenuta sostituendo m' al posto di m. Si avrà pertanto che la potenza cinetica associata al vento è espressa da:

      P = ½ A ρ V3   (3)

    Con le unità di misura già indicate la potenza P sarà espressa direttamente in Watt.
  2. Il limite di Betz

    Quando s'interpone un ostacolo al moto della vena fluida, come avviene per il rotore di un aerogeneratore, accade che la vena fluida si separa, in parte per attraversare l'ostacolo (se questo è permeabile), in parte per aggirarlo. Superato l'ostacolo, la vena si ricompone, ma la sua velocità è diminuita a causa della cessione di parte della sua energia all'ostacolo stesso. Si può dimostrare in modo del tutto generale che, indipendentemente dalla forma dell'ostacolo, quello che conta è la sua sezione trasversale e che la massima energia che la vena fluida può cedere all'ostacolo (nel nostro caso al rotore della macchina) è pari a 16/27 dell'energia cinetica posseduta prima di esso. E' questo il limite di Betz. La sua dimostrazione è abbastanza noiosa e pertanto qui la tralasciamo. Comunque chi fosse interessato la potrà trovare nel riferimento bibliografico posto alla fine. In conclusione, qualunque sia il tipo di aerogeneratore, esso non potrà estrarre dalla vena fluida una potenza superiore a quella detta di Betz:

      Pmax = (16/27) (1/2) A ρ V3 = 0.363 A V3   (4)

    Dove A è la sezione del rotore trasversale alla direzione del vento.
  3. Efficienza di trasformazione

    Finora abbiamo considerato la potenza cinetica, cioè quella che il rotore di una macchina eolica può utilizzare per produrre potenza meccanica. Nella catena che porta a trasformare la potenza meccanica in potenza elettrica occorre considerare le diverse perdite negli stadi successivi di trasformazione. La prima di queste perdite avviene per effetti aerodinamici nel rotore stesso. La seconda riguarda gli attriti che si hanno nella trasmissione del movimento agli ingranaggi fino all'albero dell'alternatore. Infine la trasformazione in energia elettrica da parte dell'alternatore ha pure un suo rendimento. In conclusione, tutti questi effetti possono essere inglobati in un solo parametro η, detto efficienza media dell'aerogeneratore, il cui calcolo, piuttosto complicato, si effettua a partire dalla sua definizione come:

      η = Pe/P   (5)

    dove Pe è la potenza elettrica in uscita dall'aerogeneratore e P è la potenza cinetica del vento che incide sul rotore data dalla (3).

    Per il nostro scopo consideriamo l'efficienza come un parametro il cui valore medio caratterizza la produzione annuale di ciascun tipo di aerogeneratore. Per gli aerogeneratori moderni ad asse orizzontale η vale circa 0.24-0.28.

    Allora, riunendo tutte le considerazioni precedenti, la potenza elettrica sviluppata da una macchina eolica avente efficienza η = 0.25 sarà espressa, in corrispondenza di un certo valore V della velocità del vento, da:

      Pe = η (1/2) ρ A V3 = 0.153 A V3   (6)

    Poiché la velocità del vento assume nel tempo valori diversi, anche la potenza elettrica sarà da considerare come una funzione variabile nel tempo, soggetta a seguire tutte le variazioni della V secondo la dipendenza espressa dalla (6). Questa affermazione nella pratica è valida fino a che la velocità del vento, aumentando, non fa raggiungere alla macchina il plateau della curva di potenza. Da quel punto in poi la potenza di uscita sarà costante ed uguale al valore di targa dell'aerogeneratore fino alla velocità massima tollerabile del vento (velocità di blocco).

    In ogni caso, per il nostro scopo, considereremo il caso ideale per il quale la macchina possa lavorare secondo l'espressione (6), che è illustrata nel grafico seguente di Fig. 1.


    Fig.1 - Potenza elettrica sviluppata per da un aerogeneratore di efficienza pari al 25% per ogni m2 di area del rotore.


    Come si può vedere, per avere una potenza di 1 kW/m2 occorre una velocità del vento di circa 18 m/s, cioè di circa 65 km/h, praticamente un vento molto forte. Dall'altro lato, si può osservare che per entrare nella scala di potenza dei watt occorre una velocità del vento di almeno 5 m/s, cioè 18 km/h, praticamente una buona brezza. A regimi di vento più ragionevoli, con velocità comprese fra 10 e 20 m/s, la potenza specifica sviluppata si attesta fra 100 e 1200 W/m2 ed è questo il campo di buon funzionamento degli aerogeneratori.

    Si comprende allora che per avere potenze di uscita significative a regimi ventosi ragionevoli, l'area del rotore delle macchine deve essere grande. Ad esempio, ad un rotore di area pari a 1000 m2, cioè di raggio 18 m circa, corrisponde una potenza di quasi 200 kW alla velocità del vento di 10 m/s.

    Viceversa se ci si accontenta di produrre solo qualche kW, allora sono sufficienti aree del rotore dell'ordine di una decina di metri quadrati per velocità del vento nel campo già considerato.
  4. Effetto dell'altezza dal suolo

    Se la velocità del vento in prossimità del suolo, al livello ho da esso (diciamo a qualche metro), è pari a V(ho), ad una quota soprastante, h, tale velocità diviene più alta secondo la relazione empirica:

      V(h) = V(ho) (h/ho)n   (7)

    Dove n è un numero compreso fra 0 e 1, detto coefficiente di rugosità del suolo. Tale coefficiente vale circa 0.2-0.4 per suoli mediamente rugosi.

    E' chiaro allora perché si cerchi di andare nei siti alle quote più alte, dove la velocità del vento risente dell'effetto d'incremento registrato dalla (7).

    In ogni caso, supponendo di trovarsi in un determinato sito, la potenza massima che potrà essere ricavata sarà funzione dell'altezza dal suolo del mozzo del rotore secondo la relazione ottenuta dalla sostituzione della (7) nella (6):

      Pe = 0.153 A V3 = 0.153 A [V(ho)]3 (h/ho)3n   (8)
  5. Produzione energetica

    A questo punto abbiamo tutti gli elementi per passare a ciò che più interessa, cioè alla produzione annuale di energia elettrica. L'energia si ottiene dalla potenza moltiplicandola per il tempo. Cioè:

      EV = Pe TV = 0.153 A [V(ho)]3 (h/ho)3n TV   (9)

    Dove TV sta ad indicare il tempo per il quale la velocità del vento mantiene il valore V nell'arco dell'anno. TV viene anche detto tempo di durata annuale della velocità V.

    EV rappresenta il contributo dovuto al singolo valore V della velocità del vento. E' chiaro che per avere la produzione energetica annuale totale occorre sommare tutti i contributi associati alle diverse velocità del vento. In altri termini occorre conoscere la distribuzione statistica della durata della velocità del vento nel sito prescelto, se si vuole stimare esattamente il valore della produzione energetica annuale. Allora la produzione annuale di energia sarà:

     
    E = ΣiPeTVi =  P(V) T(V) dV
      (10)

    Dove V è la velocità del vento misurata all’altezza del mozzo e T(V) è la distribuzione delle durate della velocità del vento riportata alla stessa altezza.
  6. Considerazioni finali

    Senza entrare nelle difficoltà di calcolo dell’integrale della (10), a noi basta osservare l'espressione (9) per ricavare alcune considerazioni utili:

    1. A parità delle altre condizioni, tanto più alta è l'efficienza, tanto maggiore sarà la produzione energetica annuale.
    2. A parità di TV, l'energia prodotta è proporzionale al cubo della velocità del vento al suolo.
    3. L'energia prodotta è proporzionale all'area A del rotore.
    4. L'energia prodotta è tanto più grande quanto più grande è h, cioè quanto più in alto è posto il mozzo del rotore.

    • La prima considerazione porta come conseguenza che la scelta del tipo di aerogeneratore si deve concentrare sulle macchine ad asse orizzontale, con pale dal profilo aerodinamico alare ed in numero non superiore a tre, perché esse offrono la migliore efficienza nella particolare applicazione della produzione di potenza elettrica. La dimostrazione di questa affermazione è molto complicata e per essa si rimanda al richiamo bibliografico.
    • La seconda considerazione porta alla scelta di siti che abbiano la maggiore ventosità possibile misurata al suolo.
    • La terza considerazione impone la scelta di rotori di grandi dimensioni se si vuole avere una grande produzione energetica.
    • Infine, una volta scelto un determinato sito, la quarta considerazione ci suggerisce di porre il mozzo del rotore il più in alto possibile per sfruttare l'effetto d'intensificazione del vento con la quota.
    La combinazione di tutte queste considerazioni ha come conseguenza l'ottimizzazione della produzione energetica annuale e, quindi, la riduzione al minimo del costo del kWh prodotto. Ne deriva che, una volta che si disponga di un sito eolico adeguato, gli aerogeneratori di grande taglia devono essere preferiti rispetto a quelli di piccola e media taglia.

    Ulteriori considerazioni in favore delle grandi taglie potrebbero essere effettuate esaminando gli aspetti dell'impatto ambientale. In generale le grandi macchine devono essere poste sul terreno in reticoli molto larghi rispetto alle piccole macchine e quindi la loro densità territoriale risulta molto minore. La loro altezza, però, è molto maggiore e così via. Ma qui ci inoltriamo nel campo minato dell'opinabile e della sensibilità personale circa i problemi ambientali e ciò costituisce tutto un altro argomento.
  7. Esempio pratico

    Al fine di rendere più quantitative le considerazioni precedenti, proviamo a fare un piccolo esercizio. Consideriamo il caso di due aerogeneratori, uno di piccola taglia (potenza di targa circa 10 kW) ed un altro di grande taglia (potenza di targa da circa 1 MW). Il primo avrà il mozzo situato a 10 m dal suolo ed il secondo a 60 m. Supponiamo inoltre di collocare i due aerogeneratori in un buon sito caratterizzato da una velocità media del vento a 10 m dal suolo pari a 5.5 m/s. In tal caso la distribuzione della probabilità delle durate è descritta dalle due curve rappresentate nella Fig.2. La prima curva A si riferisce alla situazione a 10 m d’altezza e la seconda B descrive come si modifica tale distribuzione salendo alla quota di 60 m. Le altre caratteristiche dei due generatori sono riassunte qui sotto.

    CARATTERISTICHE TECNICHE DEI DUE AEROGENERATORI
      Piccola taglia Grande taglia
    Potenza nominale Pn = 10 kW; Pn = 1 MW;
    Area del rotore A = 78.5 m2; A = 1962 m2;
    Lunghezza delle pale L = 5 m; L = 25 m;
    Altezza del mozzo h = 10 m; h = 60 m;
    Regolazione dei giri controllo del passo; controllo del passo;
    Velocità di di cut in 3 m/s; 4 m/s;
    Velocità normale 9 m/s; 15 m/s;
    Velocità di cut out 20 m/s; 25 m/s;
    Efficienza di conversione 0.25 0.25


    Fig.2 – Distribuzione della probabilità delle durate annuali della velocità del vento al mozzo della macchina da 10 kW a 10 m (curva A) e a quello della macchina da 1 MW a 60 m (curva B).


    In base alla relazione (10), oltre a conoscere la funzione di distribuzione delle durate T(V), dovremo conoscere la curva di potenza P(V) dei due aerogeneratori per poter calcolare l’energia prodotta annualmente. Quest’ultima, in teoria, si ottiene risolvendo l’integrale della funzione prodotto T(V) x P(V). Purtroppo tale funzione è matematicamente molto complicata per cui essa non è analiticamente integrabile. In genere, quindi, si ricorre al metodo della integrazione numerica.

    La Fig.3 mostra sullo stesso grafico le due funzioni T(V) e P(V) nel caso dell’aerogeneratore di piccola taglia, mentre la Fig.4 riporta la curva che risulta dal prodotto numerico delle due funzioni effettuato punto per punto e l’integrale progressivo di tale curva. L’energia annuale prodotta è rappresentata dal valore asintotico sull’asse destro. Come si può notare essa vale circa 27000 kWh, cioè 27 MWh.


    Fig.3 - Distribuzione delle durate della velocità del vento nel sito con velocità media da 5.5 m/s (asse sinistro) e curva di potenza dell’aerogeneratore da 10 kW (asse destro).



    Fig.4 – Rappresentazione grafica della curva prodotto delle funzioni T(V) x P(V) e integrale progressivo. Il valore asintotico di 27 MWh sull’asse sinistro è l’energia prodotta annualmente dall’aerogeneratore.

    Lo stesso procedimento si può ripetere per l’aerogeneratore da 1 MW, ovviamente tenendo presente che in questo caso la funzione di distribuzione delle durate si riferisce all’altezza del mozzo a 60 m dal suolo, cioè la curva B di Fig.2. Si trova che l’energia annuale prodotta è pari a circa 2200 MWh.

    In conclusione, l’energia ricavata nello stesso sito è quasi 100 volte più grande nel caso della grande taglia in confronto alla piccola taglia.
Riferimento bibliografico

D. Coiante, "Le nuove fonti di energia rinnovabile - Tecnologie, costi e prospettive", Cap. IV: Energia elettrica dal vento - Edizione Franco Angeli, Milano 2004

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